소수(Prime number) 갯수는 무한하다........ 증명

소수의 갯수는 무한하다를 증명하기 위해서는  2단계를 과정을 지나야 합니다.

첫번째는    모든 수는   소수이거나 소수의 곱으로 표현할수 있다.

첫번째를 증명하게 된다면  소수의 갯수의 무한하다를 증명할수 있습니다.

그럼  모든 수는 소수이거나 소수의 곱으로 표현할 수 있다    이 명제를 증명해보도록 하겠습니다.

증명방법은  귀류법(어떤 명제를 거짓이라고 가정했을 때 결론에 가서 모순이 드러난다면 처음에 내세운 가정이 잘못이란 뜻으로 그 명제가 참이라는 최종결론을 도촐하는 방법) 을 이용합니다.

1. 모든 수는 소수이거나  소수의 곱으로 표현할수 있다는 명제 (X) 를 거짓이라고 가정을 합니다.

  ->  1 부터 차례차례  점검을 하다보면 처음에 우리가 세웠던 가설  X가 거짓임에 부합하는  수 N을 발견하게 됩니다.

2. 일단 이 숫자 N은 소수가 아님으로  1과 자기 자신이 아닌 약수를 가지게 됩니다.

   ->  약수의 곱형태로 표현이 가능  :   A * B  

   -> 만약  A * B  형태로 표현할 수 없으면  이 숫자 N은 소수가 되무로 처음명제 X는 거짓이다라고 한 가정과 모순이 됨  :  

3. N의 약수 A , B 는 당연히 N 보다 작은 수이다.

  -> N보다 작은 수는 이미  소수이거나 소수의 곱으로 표현될수 있는 수이기 때문에 A 와 B는 소수이거나 소수의 곱으로 표현되는 수이다.

 -> A와 B는 N의 약수임으로   N 역쉬  소수의 곱으로 표현이 가능하다. 

 -> 이것은 처음 명제  X를 부정한 가정에 모순이 된다.

4. N은 소수이거나 소수의 곱으로 표현이 가능한데 이것은 처음에 세웠던 가정에 모순이 된다.

 QED  :  그럼으로 처음에 세웠던 명제 X가 거짓이라는 가정은 잘못이기 때문에 처음명제 X는 참이다.

자.. 모든 숫자는  소수이거나 소소의 곱으로 표현이 된다는 것을 증명했습니다.   이제 이것을 가지고  소수의 갯수가 무한다는 것을 증명하겠습니다.

역쉬나 귀류법을 이용합니다.

1, 소수의 갯수는  무한하다라는 명제를 거짓이라고 가정을 한다.

 ->  소수의 갯수가 유한함으로   소수 p는 P1 부터  P n까지  n 개의 소수가 존재한다.

2. 유한한 소수를 모두 곱하다.

 -> P1*P2*P3* .......... *Pn  = N 이라고 칭한다.

3. N 에 숫자 1을 더한다.

 -> N + 1  = Q  라고 칭한다.

4.  Q는 지금까지 알려진 모든 소수를 가지고 나누어도  1 이 남는다.

 ->  모든 숫자는  소수이거나 소수의 곱으로 표현할수 있다라는 증명에 따르면  

-> Q는 소수이거나  알려지지 않은 소수의 곱으로 표현 가능 한 수이라고 말할수 있다.  (Q가 반드시 소수란 말은 절대 아니다. 오해하지 말자)

 QED  처음 세웠던 명제가 거짓이라는 가정은 잘못된 것이다.  그럼으로 소수의 갯수는 무한하다.

예를 들어보겠습니다.

소수가     2,3,5,7,11,13  이렇게 여섯개밖에 없다고 가정을 해봅니다.

이 소수를 모두 곱하면  2*3*5*7*11*13 = 30,300  

여기에 1을 더하면 30,300 + 1 = 30,301

30,301  = 59 * 509  로 표현이 가능합니다.     

모든 소수(6개)를 곱한 수에 1을 더한 수 자체는 소수가 아니지만 첨에 가정했던 6개의 소수만 있다라는 가정은  59와  509라는 새로운 소수가 나타나면서 모순이있다는 것을 알게 됩니다.

즉 소수가 6개라고 가정한  명제가 거짓이고  소수의 갯수는 6개보다 많다 라는 사실이 증명되게 됩니다...  이것을 무한으로 확장한 것이 위의 증명방법이지요

이렇게 해서  소수의 갯수는 무한하다라는 명제를 증명해봤습니다.          수학은 잼있습니당. ㅋㅋㅋㅋㅋ